En el estudio de la solución de las ecuaciones de estado encontramos dos casos: homogéneo y no homogéneo, para cada uno de ellos se estudiará sus características aplicando el enfoque de la transformada de Laplace. También estudiaremos mediante MATLAB un sistema con condiciones iniciales.
Solución de las ecuaciones de estado para el caso homogéneo
Para el caso homogéneo estudiamos de forma teórica sus características principales aplicando un enfoque de la transformada de Laplace para la solución de las ecuaciones de estado.
Descripción:
Partimos de la ecuación diferencial matricial
Donde x = vector de dimensión n
A = matriz de coeficientes constantes de n*n
Donde x = vector de dimensión n
A = matriz de coeficientes constantes de n*n
Suponemos que la solución está en la forma de una serie de potencias de vectores en t
Sustituyendo esta solución supuesta en la ecuación inicial, obtenemos:
Si la solución supuesta será la verdadera, debe ser válida para toda t. Por tanto, igualando los coeficientes de las potencias iguales de t en ambos miembros de la ecuación, obtenemos:
Sustituyendo t =0 en la ecuación, obtenemos:
Así, la solución x(t) se escribe como:
La expresión en el paréntesis es una matriz de n*n. Debido a su similitud con la serie infinita de potencias para una exponencial escalar, escribimos:
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