Lugar de las raíces Ejemplo

Según el diagrama de la figura, a) Obtener el lugar de las raíces b) Determinar el valor de K, a partir del cual: - el sistema es inestable - el sistema presenta sobreoscilación para una entrada escalón unitario

a)
El primer paso es definir las funciones de transferencia G(s), H(s) y G(s)·H(s). Llamaremos a estas
funciones sis_g, sis_h y sis_gh, respectivamente. A continuación utilizaremos el sistema sis_gh recién creado como argumento para la instrucción rlocus.
Matlab generará un gráfico como el siguiente:

Interpretar el gráfico resultante es sencillo: muestra la situación en el plano complejo de los polos del sistema realimentado o en cadena cerrada W(s). Cada rama representa la situación de uno de los polos; en este caso aparecen tres ramas dibujadas con tres colores distintos para mayor claridad. Los puntos de comienzo (K=0) de cada rama coinciden con los polos en cadena abierta (cruces sobre el gráfico) y puntos de finalización (K=inf ) de cada rama tienden a infinito en este caso.

Si no se añade ningún parámetro extra, MATLAB elegirá automáticamente los valores de K entre 0 e infinito para los cuales calculará el lugar de las raíces. En determinadas ocasiones interesa elegir manualmente el rango de valores deseado para K. Para ello basta con introducir un nuevo parámetro en rlocus: » rlocus(sis_gh, [0:.1:100]) %K de 0 a 100 a intervalos de 0.1 El resultado lo podemos ver en la figura de la derecha

Si no se desea un resultado gráfico, sino que se desea conocer los valores numéricos de los polos en cadena cerrada para cada valor de K la instrucción a teclear será:
                 [r, k] = rlocus(sis_gh);   
La variable k contendrá los valores del parámetro K utilizados para el cálculo del lugar de las raíces; la variable r contendrá los polos del sistema para cada valor de K.
También es posible comprobar sobre el propio gráfico los valores del parámetro K correspondientes a cada punto del lugar de las raíces. Para ello se emplea la instrucción rlocfind. Esta instrucción, ejecutada a continuación de rlocus, permite pinchar con el ratón sobre un punto cualquiera del lugar de las raíces y obtener el valor del polo más cercano al punto donde se ha pinchado, el valor de K correspondiente a ese polo y la situación del resto de polos para ese valor de K (aparecen marcados en rojo sobre el diagrama):

» rlocus(sis_gh)
» rlocfind(sis_gh)
Select a point in the graphics window

A continuación se debe pinchar con el ratón sobre un punto cualquiera del lugar de las raíces:

.

La repuesta que aparece en la ventana de comandos indica el valor de s en el punto del lugar de las raíces
donde se ha pinchado (selected point) y el valor de K correspondiente (ans):

selected_point =
-1.2558 + 2.3509i
ans =
30.6040

Tal y como indica MATLAB, en este caso el punto donde se ha pinchado es s = -1.2558+2.3509j y el valor
de K para el cual el sistema presenta ese polo es K = 30.604.