Serie de Fourier en forma compleja.

En la sección trigonométrica de Fourier se analizó la serie trigonométrica de Fourier, representada en la ecuación 12. Otra manera de expresar la serie de Fourier es a través del uso de las exponenciales complejas .

Consideremos las expresiones siguientes para las funciones seno y coseno:

Sustituyendo estas ecuaciones en las expresión 12 tenemos:

Simplificando se obtiene la ecuación 20:

                         (Ecuación 20)

Si se realizan cambios de variables y tomamos:

podemos reescribir la ecuación 20 como:

                                               

                

                                             (Ecuación 21)

la ecuación 21 representa la serie exponencial de Fourier.

Los valores de las nuevas variables se pueden determinar de la manera siguiente:

                                (Ecuación 22)

                               (Ecuación 23)

                                (Ecuación 24)

Si se considera la teoría de los números complejos, se pueden establecer las siguientes igualdades:

                                                      (Ecuación 25)

                                                   (Ecuación 26)

                                           (Ecuación 27)

                                               (Ecuación 28)

Con la ecuación 27 se pueden obtener los valores de amplitud de la función para cualquiera sea el valor de “n”, obsérvese que se trata de una magnitud.

Por otro lado utilizando la ecuación 28, se puede obtener la fase respectiva para cada valor de “n”. Entonces, para cada valor de amplitud determinado le corresponde un valor de fase.

De acuerdo a esto, se puede realizar una gráfica de amplitud vs  la variable “n” la cual se conoce con el nombre de espectro de amplitud ( representa la amplitud de cada uno de los valores de frecuencia en función de “n”) y si se gráfica la fase vs la variable “n”  se obtiene el espectro de fase de la función.

El resultado en la ecuación 21, muestra que la señal periódica f(t) puede también ser representada matemáticamente por una serie infinita de componentes, de frecuencias positivas y negativas. Las frecuencias negativas tienen un significado matemático y , a veces, pueden tener también sentido físico, puesto que una frecuencia negativa puede ser asociada a una rotación en el sentido de las manecillas del reloj, mientras que una frecuencia positiva puede asociarse a una rotación en sentido contrario.