Estudio de estabilidad, márgenes de fase y ganancia Ejemplo:

Dado un sistema realimentado con la siguiente función de transferencia en lazo abierto: . Realizar: a) Para K=20 representar el diagrama de Bode y Nyquist b) Estudiar la estabilidad del sistema. Margen de ganancia y fase. c) En el caso critico de autooscilación, encontrar el valor de K y la frecuencia de oscilación critica.

a)
Lo primero que tenemos que hacer es definir la estructura básica del sistema, con k=1. Lo llamaremos T1. Para este caso, K=20, multiplicamos T1 por 20. Para realizar los diagramas utilizaremos los comandos bode y niquist:

Para ver el Nyquist correctamente hay que hacer un zoom alrededor del punto (-1,0), esta es una opción que se encuentra dentro del menú contextual del gráfico (clic derecho)
b)
Para realizar el estudio de estabilidad del sistema en lazo cerrado nos basaremos en el criterio de estabilidad de Nyquist. Este criterio dice:

Las medias vueltas que realiza, se pueden observar directamente del diagrama de Nyquist trazado, en nuestro caso M.V.=2 (Se analiza la rama donde las frecuencias van desde cero hasta infinito)
Ahora tenemos que definir p, es decir el numero de polos de T situados en el semiplano derecho. Para ver la situación de los polos usaremos el comando pzmap, resultando:

Tal como se ve en el mapa de polos y cero, este sistema tiene dos polos en el semiplano derecho, por tanto p=2

En definitiva tenemos que el sistema da dos medias vueltas y tiene 2 polos con raíces reales positivas, por tanto cumple el criterio de Nyquist y el sistema es estable para K=20

Ahora pasaremos a calcular los márgenes de ganancia y fase. Para calcular esto aplicaremos la sentencia: S = ALLMARGIN(T). De esta forma S contendrá los datos más importantes del sistema:

Tal como se ve en la figura, el margen de ganancia del sistema es de 0.6064, y el margen de fase 107.9047. (salen más valores porque MATLAB realiza el estudio para el rango de frecuencia entre menos infinito y infinito) Además de los márgenes, nos da más datos como la frecuencia de oscilación w = 21.7438 rad/s También nos confirma lo que nosotros ya sabíamos, que el sistema es estable en lazo cerrado. ( 1 es estable, 0 es inestable)

c)

En el apartado anterior obtuvimos la frecuencia de oscilación del sistema (w = 21.74 rad/s). Para encontrar el valor de K ejecutaremos la instrucción rlocus sobre T1. Haciendo resulta la figura siguiente:

Para encontrar el valor de K sol tenemos que clicar sobre la gráfica justo en el punto donde los polos empiezan a estar en el semiplano derecho. Haciendo esto resulta que K = 12.2 (Gain en MATLAB).